Exponential Moving Average

개요

Exponential Moving Average (EMA, 지수이동평균)는 최근 데이터에 더 큰 가중치를 부여하는 이동평균의 일종입니다. 1950년대 Charles C. Holt와 Robert Goodell Brown에 의해 시계열 예측 분야에서 발전되었습니다¹².

SMA가 모든 가격에 동일한 가중치를 부여하는 반면, EMA는 기하급수적으로 감소하는 가중치를 사용하여 최근 데이터를 더 중요하게 반영합니다.

핵심 개념: EMA는 "기억력이 있는" 평균입니다. 과거 데이터를 완전히 버리지 않지만, 시간이 지날수록 그 영향력을 점차 줄여갑니다. 마치 사람의 기억처럼, 최근 일은 선명하고 오래된 일은 희미해집니다.

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수학적 정의

기본 공식

EMA는 재귀적으로 정의됩니다:

$$EMA_t = \alpha \cdot P_t + (1 - \alpha) \cdot EMA_{t-1}$$

여기서:

• $\alpha$ = 평활 계수 (smoothing factor), $0 < \alpha < 1$
• $P_t$ = 현재 가격
• $EMA_{t-1}$ = 이전 EMA

평활 계수 (Smoothing Factor)

n기간 EMA의 평활 계수는 일반적으로 다음과 같이 계산됩니다³:

$$\alpha = \frac{2}{n + 1}$$

예시:

• 12일 EMA: $\alpha = \frac{2}{13} \approx 0.1538$
• 26일 EMA: $\alpha = \frac{2}{27} \approx 0.0741$

전개식

EMA를 전개하면 다음과 같습니다²:

$$EMA_t = \alpha \sum_{i=0}^{\infty} (1-\alpha)^i P_{t-i}$$

이를 유한 항으로 근사하면:

$$EMA_t = \alpha \left[ P_t + (1-\alpha)P_{t-1} + (1-\alpha)^2 P_{t-2} + \cdots \right]$$

가중치 분포 비교

10기간 이동평균의 가중치 비교 ($\alpha = 0.1818$):

기간	SMA 가중치	EMA 가중치
현재 (t)	10%	18.18%
1기간 전	10%	14.88%
2기간 전	10%	12.18%
3기간 전	10%	9.97%
4기간 전	10%	8.16%
...	10%	(감소)

반감기 (Half-Life)

EMA의 반감기는 가중치가 절반으로 줄어드는 기간입니다⁴:

$$\text{Half-Life} = \frac{\ln(0.5)}{\ln(1-\alpha)} \approx \frac{n-1}{2}$$

예: 20일 EMA의 반감기 ≈ 9.5일

비유적 설명

EMA를 방사성 붕괴에 비유할 수 있습니다:

• 방사성 물질이 시간에 따라 지수적으로 감소하듯이, 과거 가격의 영향력도 지수적으로 감소합니다
• 반감기가 있어서, 특정 기간이 지나면 영향력이 절반이 됩니다
• 완전히 0이 되지는 않지만, 매우 작아집니다

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파라미터

기간 vs 평활 계수

기간(n)과 평활 계수(α)는 상호 변환 가능합니다:

$$n = \frac{2}{\alpha} - 1 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \frac{2}{n+1}$$

표준 기간

금융 시장에서 널리 사용되는 EMA 기간³:

기간	용도	비고
9일	초단기	Appel의 MACD 신호선
12일	단기	MACD 빠른선
20일	중단기	볼린저 밴드 중심선 대안
26일	중기	MACD 느린선
50일	중장기	기관 투자자 관심선
200일	장기	강세/약세장 판단

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SMA vs EMA 비교

Hunter(1986)의 분석에 따른 비교⁴:

특성	SMA	EMA
가중 방식	동일 가중	지수 감소
반응 속도	느림	빠름
추세 추종	보수적	공격적
노이즈 민감도	낮음	높음
계산 복잡도	O(n) 또는 O(1)	O(1)
데이터 요구량	n개	이론적 무한대

지연(Lag) 비교

동일 기간에서 EMA의 지연이 SMA보다 짧습니다:

• SMA 지연: $\frac{n-1}{2}$ 기간
• EMA 지연: $\frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{n-1}{2}$ 기간 (이론적)

그러나 실제로 EMA는 최근 데이터에 더 큰 가중치를 주므로 체감 지연이 더 짧습니다³.

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해석 방법

1. 추세 확인

Murphy(1999)의 기본 규칙³:

• 가격 > EMA: 상승 추세
• 가격 < EMA: 하락 추세
• EMA 기울기: 추세의 강도와 방향 표시

2. 지지/저항

상승 추세에서 EMA는 동적 지지선 역할:

• 가격이 EMA 근처로 하락 후 반등하는 패턴
• 특히 9, 20, 50 EMA가 자주 사용됨

3. EMA 교차 전략

단기 EMA와 장기 EMA의 교차:

• 골든크로스: 단기 EMA > 장기 EMA → 매수
• 데드크로스: 단기 EMA < 장기 EMA → 매도

인기 있는 조합:

• 9/21 EMA (단기 트레이딩)
• 12/26 EMA (MACD에 사용)
• 50/200 EMA (장기 투자)

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MACD와의 관계

MACD(Moving Average Convergence Divergence)는 EMA의 가장 유명한 응용입니다³:

$$MACD = EMA_{12} - EMA_{26}$$ $$Signal = EMA_9(MACD)$$

Gerald Appel이 1970년대 개발했으며, 12일과 26일 EMA의 차이를 계산하여 모멘텀을 측정합니다.

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학술적 배경

지수평활법의 기원

EMA는 1950년대 운영 연구(Operations Research) 분야에서 발전했습니다:

1. Charles C. Holt (1957): 지수평활법의 원조 논문 작성¹
2. Robert G. Brown (1963): 수요 예측에 지수평활법 체계화²

원래 목적은 재고 관리를 위한 수요 예측이었으나, 금융 시장의 가격 예측에도 적용되었습니다.

통계적 특성

Hunter(1986)의 분석에 따르면⁴:

• EMA는 IIR(Infinite Impulse Response) 필터입니다
• 모든 과거 데이터가 영향을 미치지만, 그 영향력은 기하급수적으로 감소
• 정상 상태(steady state)에서 입력의 평균에 수렴

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한계점

1. 노이즈에 민감

EMA는 SMA보다 최근 가격에 민감하므로, 일시적인 가격 급등락에 더 크게 반응합니다. 이는 허위 신호(false signal)를 증가시킬 수 있습니다³.

2. 초기값 의존성

EMA 계산은 첫 번째 값(초기값)에 따라 달라집니다. 일반적으로:

• 첫 n개 가격의 SMA를 초기 EMA로 사용
• 충분한 데이터가 쌓이면 초기값의 영향은 무시할 정도로 작아짐

3. 횡보장 문제

추세가 없는 구간에서는 SMA와 마찬가지로 빈번한 허위 교차 신호가 발생합니다³.

4. 평활 계수 선택의 주관성

$\alpha = \frac{2}{n+1}$ 공식은 관례일 뿐, 이론적 최적값은 아닙니다. Wilder는 $\alpha = \frac{1}{n}$을 사용했습니다².

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구현 예시

function calculateEMA(prices: number[], period: number): number[] {
  const multiplier = 2 / (period + 1);
  const ema: number[] = [];

  // 첫 번째 EMA = 첫 n개의 SMA
  const firstSMA = prices
    .slice(0, period)
    .reduce((a, b) => a + b, 0) / period;
  ema.push(firstSMA);

  // 이후 EMA 계산
  for (let i = period; i < prices.length; i++) {
    const newEMA = (prices[i] - ema[ema.length - 1]) * multiplier + ema[ema.length - 1];
    ema.push(newEMA);
  }

  return ema;
}

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요약

항목	내용
유형	추세 지표, 후행 지표
계산	$EMA_t = \alpha P_t + (1-\alpha) EMA_{t-1}$
평활 계수	$\alpha = \frac{2}{n+1}$
기본 기간	12, 26 (MACD), 20, 50, 200
장점	SMA보다 빠른 반응, 최근 데이터 중시
단점	노이즈에 민감, 초기값 의존
주요 응용	MACD, 추세 확인, 교차 전략

Footnotes

1. Holt, C.C. (2004). Forecasting Seasonals and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages. International Journal of Forecasting. ↩ ↩²

2. Brown, R.G. (1963). Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time Series. Prentice-Hall. ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

3. Murphy, J.J. (1999). Technical Analysis of the Financial Markets. NYIF. ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶ ↩⁷

4. Hunter, J.S. (1986). The Exponentially Weighted Moving Average. Journal of Quality Technology. ↩ ↩² ↩³